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八皇后问题作为算法问题中的经典题目之一，具有广泛的应用价值。本文将从问题描述、算法解析以及代码实现三个方面对该问题进行详细分析。

八皇后问题的目标是在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，使得它们互不攻击。国际象棋皇后具有攻击范围覆盖行、列和对角线的特性，因此放置时需要确保每行、每列以及每条对角线上只有一个皇后。

问题描述

在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，确保它们之间互不攻击。具体来说，每个皇后不能在同一行、同一列或同一对角线上与其他皇后相邻。这一约束条件使得问题具有较高的复杂性。

算法解析

解决N皇后问题的最常用方法是回溯算法（Depth-First Search, DFS）。回溯算法通过尝试所有可能的排列组合来寻找可行解，采用递归的方式逐步深入问题的各个可能性。当发现一个排列不符合条件时，会回溯到上一步，尝试下一个可能性。

具体来说，算法从第一行开始，逐行放置皇后。在每一行中，尝试将皇后放置在每一列的位置上。为了提高效率，需要记录已经放置的皇后位置，避免重复检查相同的列或对角线。若发现当前位置不符合放置条件，则剪枝，尝试下一个位置。

代码实现

以下是Python语言实现的回溯算法，用于计算N皇后问题的解的总数：

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        ans = 0
        cache = []
        def dfs(i):
            nonlocal ans, cache
            if i >= n:
                ans += 1
                return
            for j in range(n):
                if not is_safe(i, j, cache):
                    continue
                cache.append((i, j))
                dfs(i + 1)
                cache.pop()
        dfs(0)
        return ans
def is_safe(i, j, cache):
    for x, y in cache:
        if x == i or y == j or abs(x - i) == abs(y - j):
            return False
    return True

总结

通过以上分析，可以看出回溯算法在解决N皇后问题时的核心思想。通过对每一行的每一列进行尝试，并结合已放置的皇后位置进行有效性检查，最终找到所有符合条件的解。该算法的时间复杂度为O(N!), 在实际应用中，较大的N值可能会导致性能问题，因此需要进一步优化算法或采用其他方法来提高计算效率。

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